Introduction
Trop souvent les équations du second degré du type 2x² + 3x +5 = 0 représentent un mauvais souvenir.
Trop "abstraites", "sans utilité perçue", "un mélange de chiffres et de lettres", "incompréhensible", etc. telles sont les remarques que nous entendons.
Le challenge de ce module est de vous aider à comprendre comment elles fonctionnent, comment les résoudre et comment leur trouver une certaine utilité.
L'idée générale est celle d'un pas-à-pas accessible à tous qui reviendra brièvement sur les pré-requis, c'est à dire les outils mathématiques nécessaires pour avancer,
et qui tentera d'expliquer les différentes formules simplement.
Le but n'est pas de faire de vous des "experts", mais juste de vous amener à comprendre le fonctionnement d'un outil mathématique, parfois utile pour résoudre des problèmes.
Trop "abstraites", "sans utilité perçue", "un mélange de chiffres et de lettres", "incompréhensible", etc. telles sont les remarques que nous entendons.
Le challenge de ce module est de vous aider à comprendre comment elles fonctionnent, comment les résoudre et comment leur trouver une certaine utilité.
L'idée générale est celle d'un pas-à-pas accessible à tous qui reviendra brièvement sur les pré-requis, c'est à dire les outils mathématiques nécessaires pour avancer,
et qui tentera d'expliquer les différentes formules simplement.
Le but n'est pas de faire de vous des "experts", mais juste de vous amener à comprendre le fonctionnement d'un outil mathématique, parfois utile pour résoudre des problèmes.
De quoi parle-t-on ?
Une équation c'est une relation d'égalité entre deux propositions mathématiques, mais c'est aussi graphiquement ce qui rend possible de définir et de tracer une droite, une courbe etc...
Construction de cette page
3 modules de couleurs différentes
Violet : Les équations du premier degré
Bleu : Les équations du second degré
Vert: Les aides pour les carrés, les racines, les fractions
Il est conseillé de commencer par les équations du premier degré, et de tenter ensuite les équations du second degré.
Les "aides" sont facultatives... Si vous avez un doute, parcourez le module, et testez vos acquis.
Violet : Les équations du premier degré
Bleu : Les équations du second degré
Vert: Les aides pour les carrés, les racines, les fractions
Il est conseillé de commencer par les équations du premier degré, et de tenter ensuite les équations du second degré.
Les "aides" sont facultatives... Si vous avez un doute, parcourez le module, et testez vos acquis.
Les équations simplesVoici une petite histoire qui va vous montrer que vous faites déjà des équations sans le savoir :
Hier (c'était avant le confinement), un père de famille s'est rendu à la plage avec ses 3 enfants. Il a acheté 3 glaces et une petite bouteille d'eau. En tout, il en a eu pour 10 €, et il se rappelle que la bouteille d'eau coûtait 1 €.... Combien a-t-il payé pour une glace ? La bonne réponse est 3 €uros Dans les faits, votre cerveau suit à peu près ces étapes sans que vous en ayez conscience :
- Il isole la bouteille d'eau : Ce qui fait qu'il reste 3 glaces coûtent 10-1 (€) Et comme 3 glaces coûtent 9 €, il divise par 3 pour trouver le prix d'une glace... Mathématiquement parlant voici comment cela se traduit : On remplace le prix d'une glace (c'est ce que je cherche) par x (c'est une habitude...), et on arrive à : 3 X x +1 = 10 On isole les chiffres connus (le 10 et le 1) de ceux qui sont encore inconnus...(3 fois x) 3 X x = 10 - 1 (votre cerveau a fait cela tout seul) Là il se passe un truc important 3 X x = 9 On élimine le 3 X, en divisant par 3 ce qui donne x = 3 Pour comprendre il faut envisager une équation comme une balance qu'on cherche à équilibrer à chaque opération. |
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D'autres exemples d'équations sont disponibles sur ce document :
autres_exemples_equ_1er_degre.docx | |
File Size: | 29 kb |
File Type: | docx |
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Utilisez ce code : pc4lhmt puis le module "Equations du premier degré", puis "Exercices sur les équations à une inconnue."
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Un petit problème
L'âge de Marie est le quadruple de l'âge de sa petite-fille Céline.
Le grand-père Auguste a 6 ans de plus que sa femme Marie.
Si l'on détermine la somme des âges de ces 3 personnes on obtient 168.
Quels sont les âges de Marie , Auguste et Céline ?
Plus concrètement
Pierre vient d'ouvrir un point chaud où il vend des viennoiseries. Pour chaque article vendu il gagne 27 centimes (0.27 €)
Chaque mois, ses charges (location, achat, électricité etc.) se montent à 10 000 €uros. A partir de combien de viennoiseries vendues, commence-t-il à faire un bénéfice ?
Chaque mois, ses charges (location, achat, électricité etc.) se montent à 10 000 €uros. A partir de combien de viennoiseries vendues, commence-t-il à faire un bénéfice ?
Les équations du second degré, nous y sommes !
3 étapes :
1/ Identifier les coefficients a, b, c dans une équation
2/ Trouver le discriminant grâce à une première formule
3/ Trouver les solutions grâce à une deuxième formule
1/ Identifier les coefficients a, b, c dans une équation
2/ Trouver le discriminant grâce à une première formule
3/ Trouver les solutions grâce à une deuxième formule
1/ Identifier les coefficients a, b, c dans une équation de type :
ax² + bx + c
Exemples :
A ) 2x² + 3x + 1 = 0
le coefficient "a" est le chiffre devant les "x²" ici c'est donc 2
le coefficient "b" est le chiffre devant les "x" ici c'est donc +3
le coefficient "c" est le dernier chiffre ici c'est donc +1
b) -3x² -6x -8 = 0
le coefficient "a" est le chiffre devant les "x²" ici c'est donc -3
le coefficient "b" est le chiffre devant les "x" ici c'est donc -6
le coefficient "c" est le dernier chiffre ici c'est donc -8
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Utilisez ce code : pc4lhmt puis le module "Les coefficients"
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2/ Trouver le "discriminant" grâce à une première formule
Δ = b² - 4ac
Je ne peux pas faire plus grand ... Si ?
Δ = b² - 4ac
Ben, non, c'est le maximum... J'ai juste changé la couleur !!
Cette première formule sert à savoir deux choses ... d'abord s'il existe des solutions (soit 1; soit 2; soit aucune) et le chiffre qui en résulte sert dans la dernière formule, celle qui sert à trouver la solution.
J'ai repris la première équation et je vais chercher le discriminant (on dit aussi le Delta : Δ )
A) 2x² + 3x + 1 = 0
a= 2
b = 3
c=1
J'applique la formule Δ = b²-4ac ce qui donne
Δ = b² - 4ac
Je ne peux pas faire plus grand ... Si ?
Δ = b² - 4ac
Ben, non, c'est le maximum... J'ai juste changé la couleur !!
Cette première formule sert à savoir deux choses ... d'abord s'il existe des solutions (soit 1; soit 2; soit aucune) et le chiffre qui en résulte sert dans la dernière formule, celle qui sert à trouver la solution.
J'ai repris la première équation et je vais chercher le discriminant (on dit aussi le Delta : Δ )
A) 2x² + 3x + 1 = 0
a= 2
b = 3
c=1
J'applique la formule Δ = b²-4ac ce qui donne
Δ = 9 - 8 = 1
comme Δ est supérieur à zéro, il y aura 2 solutions ...
comme Δ est supérieur à zéro, il y aura 2 solutions ...
Dans la seconde équation :
B) -3x² -6x -8 = 0
a = -3
b = -6
c = -8
J'applique la formule Δ = b²-4ac ce qui donne
Δ = (-6)² - 4(-3)(-8) = 36 -(-96) = 36 - 96 = -60
comme Δ est inférieur à zéro, il n'y aura aucune solution ...
B) -3x² -6x -8 = 0
a = -3
b = -6
c = -8
J'applique la formule Δ = b²-4ac ce qui donne
Δ = (-6)² - 4(-3)(-8) = 36 -(-96) = 36 - 96 = -60
comme Δ est inférieur à zéro, il n'y aura aucune solution ...
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Utilisez ce code : pc4lhmt puis le module "b² - 4ac"
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3/ Trouver les solutions grâce à une deuxième formule
Les formules à appliquer dépendent du signe de Δ
Si Δ est > 0 (supérieur à zéro) les formules à appliquer sont (car il y a 2 solutions)
Si Δ est = 0 (égal à zéro) la formule devient pour la solution -b/2a
Si Δ est < 0 (inférieur à zéro), il n'a pas de solution ... (pas pour l'instant !!)
Les formules à appliquer dépendent du signe de Δ
Si Δ est > 0 (supérieur à zéro) les formules à appliquer sont (car il y a 2 solutions)
Si Δ est = 0 (égal à zéro) la formule devient pour la solution -b/2a
Si Δ est < 0 (inférieur à zéro), il n'a pas de solution ... (pas pour l'instant !!)
Ce qui donne :
A) 2x² + 3x + 1 = 0 avec a=2 ; b = 3 ; c = 1 et Δ = 1
A) 2x² + 3x + 1 = 0 avec a=2 ; b = 3 ; c = 1 et Δ = 1
2 solutions :
-0,5 et -1
-0,5 et -1
Graphiquement : Le logiciel "Geogebra" permet de réaliser facilement des graphiques à partir d'équations, cela permet de trouver graphiquement les solutions... Alternativement, il est possible d'utiliser "Excel"
Les équations du premier degré ou du second degré peuvent être représentées graphiquement :
Représentation graphique de l'équation y = 2x -1
(c'est une droite) En remplaçant le "x" par plusieurs valeurs, il devient possible de tracer une droite.
Exemples : Pour x = 1 j'obtiens y = 2 X (1) -1 = 1 Pour x = 2 j'obtiens y = 2 X (2) -1 = 4 - 1 = 3 Pour x = 0 j'obtiens y = 2 X (0) -1 = -1 etc... Si je cherche à déterminer le point précis où la droite (y = 2x -1) coupe l'axe horizontal (l'axe des abscisses), c'est aussi y = 0 Je vais calculer 2x -1 = 0 Ce qui donne 2x = 1 et donc x = 1/2 (c'est bien à cet endroit que la droite coupe l'axe horizontal). |
Représentation graphique de l 'équation y = x²
(c'est une courbe) En remplaçant "x" par plusieurs valeurs, il est possible de retracer cette courbe.
Exemples : Pour x = 1 j'obtiens y = (1)² = 1 X 1 = 1 Pour x = 2 j'obtiens y = (2)² = 2 X 2 = 4 Pour x = 0 j'obtiens y = (0)² = 0 X 0 = 0 Pour x = -1 j'obtiens y = (-1)² = (-1) X (-1) = 1 etc. |
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Utilisez ce code : pc4lhmt puis le module "L'équation dont vous êtes le héros"
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Utilisez ce code : pc4lhmt puis le module "Un joli problème" ou encore "Exercices sur les équations du second degré".
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